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#include <vector>
#include <algorithm> // for std::max, std::min
using namespace std;

// 二维前缀和类，用于快速计算任意矩形子矩阵的和
class SumMatrix {
public:
    // preSum[i][j] 表示原始矩阵中前 i 行、前 j 列（即区域 [0, i) × [0, j)）所有元素的和
    // 维度为 (m+1) x (n+1)，其中 m、n 为原始矩阵的行数和列数
    vector<vector<int>> preSum;

    // 构造函数：根据原始矩阵 matrix 构建前缀和数组
    SumMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size();          // 原始矩阵的行数
        int n = matrix[0].size();       // 原始矩阵的列数
        // 初始化前缀和数组，多一行一列用于简化边界处理
        preSum.resize(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));

        // 计算前缀和：preSum[i][j] = preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] - preSum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                preSum[i][j] = preSum[i - 1][j] + preSum[i][j - 1]
                               + matrix[i - 1][j - 1] - preSum[i - 1][j - 1];
            }
        }
    }

    // 计算原始矩阵中闭区间 [x1, x2] 行、[y1, y2] 列所围成的子矩阵的和
    // 注意：x1, x2, y1, y2 都是原始矩阵的有效索引（0-based）
    int Addmatrix(int x1, int x2, int y1, int y2) {
        // 利用前缀和公式：sum = preSum[x2+1][y2+1] - preSum[x1][y2+1] - preSum[x2+1][y1] + preSum[x1][y1]
        // 因为 preSum 的行/列索引比原始矩阵大 1，所以需要 +1 转换
        return preSum[x2 + 1][y2 + 1] - preSum[x1][y2 + 1]
               - preSum[x2 + 1][y1] + preSum[x1][y1];
    }
};

class Solution {
public:
    // 计算矩阵区域和：对于每个位置 (i, j)，求以该位置为中心、边长为 2k+1 的正方形区域的和
    // （边界超出矩阵时只取有效部分）
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int m = mat.size();      // 矩阵行数
        int n = mat[0].size();   // 矩阵列数
        // 结果矩阵，大小与原始矩阵相同
        vector<vector<int>> answer(m, vector<int>(n, 0));
        // 构建原始矩阵的前缀和对象
        SumMatrix mt = SumMatrix(mat);
        // 遍历每个位置 (i, j)
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                // 计算以 (i, j) 为中心、半径为 k 的矩形区域的边界（需限制在矩阵范围内）
                int x1 = max(i - k, 0);        // 上边界（行最小索引）
                int x2 = min(i + k, m - 1);    // 下边界（行最大索引）
                int y1 = max(j - k, 0);        // 左边界（列最小索引）
                int y2 = min(j + k, n - 1);    // 右边界（列最大索引）

                // 通过前缀和快速得到该区域的和，并填入结果矩阵
                answer[i][j] = mt.Addmatrix(x1, x2, y1, y2);
            }
        }
        return answer;
    }
};

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preSum[i][j] = preSum[i-1][j]        // 上面那块
             + preSum[i][j-1]        // 左边那块
             + matrix[i-1][j-1]      // 当前这个数
             - preSum[i-1][j-1]      // 左上角被算了两次，扣掉

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sum = preSum[x2+1][y2+1]      // 整块从原点到右下
    - preSum[x1][y2+1]        // 砍掉上面
    - preSum[x2+1][y1]        // 砍掉左边
    + preSum[x1][y1]          // 左上角被砍了两次，补回来